有限集和无限集的辨证关系

   数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一.

   无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。

   有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。即一切事物都是具体的事物。数学中的有限就反映了这种有限性。

    有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。并在一定条件下相互转化的。数学中的无限和有限也反映了这一点。例如 ，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。但每个整数又都是有限的。我们可以得到任意的整数。任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。

   有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。比如，自然数集和它的一个真子集    偶自然数集就可以建立一一对应关系。再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。

   有限和无限又是密切相联系着的，没有有限也就没有无限，没有无限也就没有有限。无限性是不能完全被证明或者说被完全实现的。这并不是因为无限性不存在，而只是因为如果无限性一旦得到完成，得到实现，那它就不再成为无限，而变成有限。但是如果所有的无限都变成有限，无限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的,所以无限是不能完全实现的。

   事实上，有限的总和构成无限，无限是通过有限而存在的。这种情况在数学中也得到反映，比如整数集是由一个个具体的整数组成的，而这个集合的无限性就是通过无数个有限的整数总和表现出来的。

   有限和无限在一定条件下能够相互转化。比如，物质是无限可分的，这个“分”的过程就是一个有限和无限互相转化的过程。《庄子·天下篇》所说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”就表达了这一过程。

    一尺之棰，日取其半，这就是一个有限向无限转化的过程，就棰的长度来说，分的过程是无限的，无论分得多么小，总是可以取其长度的一半的，这是一个无限的过程。但是，纯粹的量的分割是有一个极限的，达到了这个极限它就转化为质的差别。作为一定质的棰来说，具体的分割又是可“竭”的，即分到一定的关节点时，就不能保持“棰”之为棰的质了。这个关节点就是“分”的一个极限，它标志着分的过程从无限到有限的转化。这个关节点大约在分到第三十天时达到，这时棰的长度大约是十亿分之一尺，已经小于分子的数量级，这时就不再成为其棰了。可见，“分”的过程是一个有限和无限，质和量的对立统一的过程。

    在数学中，经常通过极限来实现有限和无限的转化。比如一个收敛的正项级数之和是由无限项组成的，但是它的极限值却是一个具体数值。反过来，在其定义域内正弦函数值是一个具体的数值。但是它却展开为无穷项的级数。再如导数和积分也是某种特殊的极限，因此，也是有限和无限转化的有力工具，数学通过有限和无限转化这一杠杆，可以解决许多实际问题。

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