常系数线性齐次递推关系及解的求法

定义设 ， ， 是k个常数，且 ，则递推关系

                  （n k）   （1）         

称为k阶常系数线性齐次递推关系。

如果数列 满足

          （n k）

则称数列 或 是递推关系的一个解

定理1 任意给出个常数 ，有且仅有一个数列 ，它是递推

关系（1）的解，且满足条件： （该条件称为递推关

系（1）的初始条件）

因为有无穷多种方法去取k个常数 ，故由定理1，递推关系（1）有无穷多个解。但给出了初始条件之后，递推关系（1）的解是唯一的。

能表示出递推关系（1）全部解的表达式叫做递推关系（1）的通解。

递推关系（1）可改写成

定义2 方程

                 （2）

称为递推关系（1）的特征方程，它的根称为递推关系（1）的特征根

定理2 设q是非零复数，则 是递推关系（1）的一个解当且仅当q

是递推关系（1）的一个特征根.

定理3 设   都是递推关系（1）的解，

为任意常数，则 也是递推关系（1）的解

定理4 如果递推关系（1）的k个特征根 彼此相异，则

是递推关系（1）的通解，其中 为任意常数。

例1 已知 且

     求数列 的通项公式

解：递推关系

的特征方程为 ，特征根为

，所以

，

其中 为待定常数，由初始条件有

解这个方程组得 ，所以

以上是对于特征根彼此相异求递推关系的解的情况，，下面来研究一下对于特征根为重根求递推关系解的情况

定理5 设q是递推关系（1）的一个m(m 0)重特征根，则 都是（1）的解

定理 6 设递推关系（1）有t个相异的特征根 其中 是 重根，令

          ，

其中 是任意常数，则递推关系（1）的通解为

由以上定理可以知道，解常系数线性齐次递推关系的步骤是：求出特征根，写出通解，由初始条件确定通解中的诸常数，最后写出所求的解。

例2 解递推关系

解：所给递推关系的特征方程为

特征根为 所以

其中 为待定常数，由初始条件有

解这个方程组得 ，所以

对于文中我们在例1以及例2中所建立起来的递推关系,我们都可以用上述的特征根法进行求解

上一篇：关于多媒体语文教学的思考

下一篇：聚硅酸铝铁复合絮凝剂的制备及絮凝性能